Bonjour ! En l'absence du Docteur Duchmoll, et compte-tenu de la qualité de votre question, j'ai fait quelques recherches pour vous aider à vous dépatouiller dans ce sentiment qui n'est pas toujours simple, il est vrai !!!

Considérons par exemple l’ensemble P suivant de personnes : (Alice, Bernard).

Définissons-y (naïvement) la relation aime par la seule donnée de son graphe : aime = ( (Alice, Bernard), (Alice, Alice), (Bernard, Bernard) )

Pour la relation aime, si « Alice aime Bernard », alors le couple
( Alice, Bernard ) fait partie de l’ensemble aime. L’ensemble aime est un sous-ensemble de P × P. Nous constatons que :

la relation aime est une relation binaire dans P ;

la relation aime est réflexive, puisque toutes les personnes considérées s’aiment elles-mêmes.

Remarquons au passage que l’ordre dans le couple a de l’importance. Si « Alice aime Bernard », la réciproque n’est pas forcément vraie, et d’ailleurs ici ( Bernard , Alice ) n’appartient pas à aime.

Ajoutons une personne à P. L’ensemble des personnes Q devient : Q = ( Alice, Bernard, Christian )

aime est encore un sous-ensemble de Q × Q, mais la relation aime n’est plus réflexive : la simple présence de Christian a modifié la relation, même si aucun lien n’a été rajouté.

En fait, la relation aime dans Q doit être distinguée de la relation aime dans P, même si elles ont toutes deux le même graphe. Pour y parvenir, l’idée la plus simple est de considérer qu’une relation comporte non seulement un graphe, mais aussi le produit cartésien dans lequel il s’inscrit.

Cette façon de procéder comporte toutefois encore un défaut : elle ne permet pas de généraliser les relations aux classes propres, puisque les éléments de n-uplets doivent être des ensembles. Cela pose problème avec la relation d’équipotence par exemple, qui est à la base de la définition des cardinaux, et qui est censée être définie dans la classe de tous les ensembles.

Une solution (déjà entrevue dans l’article « Produit cartésien ») consiste à remplacer les triplets précédents par des sommes disjointes.

Remarque

Le cheminement ci-dessus est caractéristique de la démarche des mathématiciens lorsqu’ils élaborent une définition : ils partent d’une première approche simple, qu’ils améliorent ensuite en la compliquant pour éliminer des contradictions internes ou prendre en compte certains cas particuliers, puis qu’ils généralisent au maximum.

Votre dévouée,
Pamela Duchmoll,
Secrétaire Humanissime de l'ENA.

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